Himpunan

Bab I

Pendahuluan

A.  Latar belakang

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda dengan ciri-ciri tertentu. Objek atau benda yang termasuk dalam himpunan ini disebut anggota / unsur / elemen himpunan. Nama lain untuk anggota suatu himpunan adalah elemen / unsur. Permasalahan – permasalahan yang berkaitan dengan himpunan antara lain : jenis – jenis himpunan, operasi himpunan, hubungan antar himpunanan, hukum – hukum operasi himpunan. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A,B,C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota – anggotanya digunakan huruf kecil seperti a,b,c,d dsb.

B.   Rumusan masalah

1.      Apa saja  jenis – jenis himpunan ?

2.      Bagaimana hubungan antar himpunan ?

3.      Bagaimana operasi himpunan ?

4.      Apa saja hukum operasi himpunan ?

C.  Tujuan

Agar mahasiswa memahami apa saja jenis – jenis dari himpunan, serta mengetahui operasi himpunan  beserta hukum – hukum operasi himpunan.

Bab II

Pembahasan

A.  Jenis – jenis himpunan

1.      Himpunan semesta { U } adalah himpunan semua objek yang sedang di bicarakan.

Contoh : misalkan U={ 1,2,3,4,5 }, dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan

 A = { 1,3,5 }.

2.      Himpunan kosong { } adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Contoh : misalkan N adalah  himpunan nama – nama bulan dalam setahun yang di awali dengan huruf C.Nyatakan N dalam notasi himpunan.

Penyelesaian:

Nama-nama bulan dalam setahun adalah januari, februari, maret, april, mei, juni, juli, agustus, september,oktober,november,desember. Karena tidak ada nama bulan yang di awali dengan huruf C,maka N adalah himpunan kosong di tulis N= f atau N= { }.

3.      Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas.

Contoh : Perhatikan data untuk  110 mahasiswa sebuah asrama berikut ini :

30 mahasiswa mengambil jurusan akuntasi (A)

35 mahasiswa mengambil jurusan PGSD (B)

20 mahasiswa mengambil kedua-duanya

n (A U B)         = n(A) + (B)- n (A ∩ B)

 = 30 + 35 – 20

 = 45

4.      Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas.

Contoh : Contoh : Q = {1,2,3,4,....}

Apabila kita menghitung anggota bilang Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah anggota himpunan tak berhingga dan n (Q) = ~

B.   Hubungan antar himpunan

1.      Himpunan bagian / subset.

A adalah bagian B ( ditulis A,B ), jika setiap anggota A merupakan anggota B.

Contoh : misal A = {1,2,3}, dan B = {1,2,3,4,5,6}, maka A’B = {1,2,3}.

2.      Himpunan ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan B ( A ( B ) jika banyak anggota A sama dengan banyaknya anggota B.

Contoh : misal A = { 1,2,3,4,5} dan B = { 3,4,5,2,1 } jadi dikatakan A ( B.

3.      Himpunan sama

Himpunan A = B jika anggota A sama dengan B.

Contoh : misal A = { 1,2,3 } dan B = { 1,2,3 } maka dikatakan A= B.

4.      Himpunan kuasa / superset

Himpunan A superset B (A) B ) jika setiap anggota B merupakan anggota A.

Contoh : misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 3,4,5 } jadi dikatakan A C B ={ 3,4,5 }.

5.      Himpunan lepas

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( A # B ) jika himpunan A dan B tidak mempunyai anggota persekutuan.

Contoh : misal A = { 1,2,3 } dan B = { 4,5,6 } , A # B.

6.      Himpunan berpotongan / joint

Himpunan A dan B berpotongan jika A dan B mempunyai anggota persekutuan dan anggota yang bukan persekutuan.

Contoh : misal A = { 1,3,5,7 } dan B = { 3,5,7,9 } jadi dikatakan AnB = { 3,5 }.

C.  Operasi himpunan

1.      Gabungan / union

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari anggota A ditambah B.

Contoh : A = { 1,2,3,4 } dan B = { 3,4,5,6 } maka A u B = { 1,2,3,4,5,6 }.

2.      Irisan / intersal

Irisan himpunan A dan B { A ∩ B } adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan A dan B.

Contoh : A = { 1,2,3,4 } dan B = { 3,4,5,6 }, maka A ∩ B = { 3,4 }.

3.      Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang merupakan anggota A tetapi bukan anggota B.

Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6 } dan B = { 1,2,3 }, maka A-B = { 4,5 }.

4.      Komplemen

Himpunan koplemen dari A {A’} adalah anggota himpunan semesta selain anggota A.

Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6 } dan A = { 4,5,6 } maka A’ = { 1,2,3 }.

D.  Hukum Operasi himpunan

1.      Komunikatif

Sifat komutatif irisan               : A∩B = B∩A

Sifat komutatif gabungan        : AUB = BUA

2.      Asosiatif

Sifat asosiatif irisan                  : A∩ ( B∩C ) = (A∩B) ∩C

Sifat asosiatif gabungan           : AU (BUC) = (AUB) UC

3.      Distributif

Sifat distributif irisan terhadap gabungan        : An ( BUC ) = ( A∩B )U( A∩C )

Sifat distributif gabungan terhadap irisan        : Au ( B∩C ) = ( AUB )∩(AUC )

4.      De morgan

( A∩B )’ = A’ U B’ menjadi (AUB)’ = A’ ∩ B’

( A∩B )’ = A’ U B’

( AUB )’ = A’ ∩ B’

5.      Himpunan ekuivalen

·   n( AUB ) = n(S) – n(AUB)’

·   n( AUB ) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

·   n( AUBUC ) = n(A) +  n(B)  +  n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) +  n(A∩C)

Bab III

Kesimpulan

Himpunan memiliki beberapa jenis, yaitu himpunan semesta, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak berhingga yang mana memiliki rumus dan cara penyelesaian yang berbeda. Adapun hubungan antar himpunan adalah himpunan yang memiliki bagian dalam satu kelompok bilangan dengan kelompok bilangan lain.

Operasi himpunan juga memiliki beberapa bentuk, yaitu gabungan, irisan, selisih, koplemen yang setiap bentuk memiliki ketentuan masing – masing sesuai. Operasi himpunan memiliki hukum opersi himpunan yang memiliki sifat yang berbeda sesuai bentuknya masing – masing.

Daftar pustaka

Sofian, Assauri.2011.Matematika Ekonomi Jakarta: Karisma Putra Utama

Ma-dasar.lab.Gunadarma.ac.id ( sabtu, 15 september 2012 )

www.sribd.com ( sabtu, 15 september 2012 )

www.google.com ( sabtu, 15 september 2012 )